Ventanas al infinito

Para ver el mundo en un grano de arena

y el cielo en una flor silvestre

abarca el infinito en la palma de tu mano

y la eternidad en una hora.

WILLIAM BLAKE, Augurios de inocencia

Hace años viajé a la ciudad de Malargüe, al sur de Argentina, para visitar el Observatorio de Rayos Cósmicos Pierre Auger. Se usa para detectar partículas invisibles que viajan por el Universo a grandes velocidades; está situado en las Pampas Amarillas, cerca de los Andes. Se escogió este lugar para el observatorio porque, entre otras cosas, no tiene contaminación lumínica. Si uno sale en la noche a recorrer el desierto y apaga las luces del vehículo, se encuentra en obscuridad total. Después de un rato, los ojos se acostumbran al negro de la noche y uno puede voltear al cielo para presenciar el espectáculo cósmico: cientos de estrellas lejanas que brillan con mucha intensidad.

EL CONCEPTO DE LO SINFÍN

En Malargüe no pude más que emocionarme por la sensación de ver un número incontable de soles, con un sinfín de mundos orbitándolos. Sentí lo mismo cuando llevé por primera vez a mi hija a la playa. Parecía que el mar no acababa nunca, que había un número incalculable de granos de arena. Me imagino que Gustave Flaubert pensó algo similar cuando escribió: “Todo lo que se puede medir pasa, todo lo que puede contarse tiene un fin. Solamente tres cosas son infinitas: el cielo en sus estrellas, el mar en sus gotas de agua y el corazón en sus lágrimas”.1 Aunque la sensación de infinitud está presente cuando observamos la naturaleza, y la idea platónica de que existen cosas que nunca terminan es un recurso poético sublime, los matemáticos sabemos que en nuestro Universo no existe nada que lo sea: los conjuntos infinitos sólo viven en la imaginación.

Para los matemáticos el infinito no es un número, sino un concepto, como la idea de que un conjunto de objetos no se puede terminar de contar jamás, por ejemplo, el conjunto de los números enteros positivos, 1, 2, 3, 4. Uno puede escoger un número entero positivo muy grande, digamos 789 403 928, pero siempre habrá uno mayor: 789 403 928 + 1 = 789 403 929. Conocemos bien otros conjuntos infinitos, como el de los números pares, 2, 4, 6, 8... y el conjunto de los números impares, 1, 3, 5, 7. Al comparar ambos grupos, el matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) descubrió algunas propiedades sorprendentes. Primero, se dio cuenta de que el conjunto de los números enteros positivos (1, 2, 3...), el de los números pares positivos (2, 4, 6...) y de los números impares positivos (1, 3, 5...) son del mismo tamaño, aunque los dos últimos parecieran ser más pequeños, pues caben en el primero.

Las sorpresas no terminan ahí. Cantor se preguntó si todos los conjuntos infinitos serían del mismo tamaño y la respuesta que encontró fue negativa: existen distintos tamaños de infinitos, es decir, algunos infinitos son más grandes que otros. Para poner un nombre a los distintos tamaños de números que no tienen fin se escogió la primera letra del alfabeto hebreo: aleph. Así, el infinto del tamaño más pequeño, que es el de los números enteros positivos, es aleph cero, el siguiente aleph uno y así sucesivamente. Cantor llamó a estos símbolos cardinales transfinitos.

"Los matemáticos sabemos que en nuestro Universo no existe nada que sea infinito: los conjuntos infinitos sólo viven en la imaginación".

EL HOTEL DE HILBERT

Para mostrar las extrañas propiedades de los conjuntos infinitos, el matemático alemán David Hilbert (1862-1943) propuso construir un hotel infinito imaginario, en un Universo donde todo es infinito. Imagina que viajas a ese lugar y buscas un hotel para pasar la noche. Finalmente uno te agrada, aunque el anuncio de la entrada intriga: “Bienvenido a nuestro hotel. En este momento está lleno, pero siempre hay lugar. Pase usted”. La recepcionista te asegura que aunque las habitaciones están llenas, siempre hay lugar para un visitante más. Sólo es necesario pedirle a todos los huéspedes que le sumen 1 al número de su habitación y se muden a la habitación con el número resultante. Así, el huesped de la habitación 1 se mueve a la habitación 1 + 1 = 2, el que está en la 2 se muda a la 2 + 1 = 3 y así sucesivamente. La habitación número 1 queda vacía, de modo que se te asigna.

Ahora imaginemos que al hotel infinito llega un tour con un número infinito de visitantes. ¿Cómo podrían acomodarse? Fácilmente: hay que pedir a todos los huéspedes del hotel que multipliquen el número de su habitación por dos y se muden a la habitación resultante. El ocupante de la habitación 1 se mudará a la 2, el de la 2 a la 2 x 2 = 4 y así sucesivamente. De este modo, todas las habitaciones pares quedan ocupadas y las habitaciones impares, desocupadas. Los visitantes caben en las habitaciones impares, que no tienen fin.

EL INFINITO DE BORGES

La obsesión por este tema no sólo le pertenece a los matemáticos, sino también a escritores como Jorge Luis Borges (1899-1896), quien exploró el tema en varios textos. En su ensayo “Avatares de la tortuga” comenta:

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito [...] Cinco, siete años de aprendizaje metafísico, teológico, matemático, me capacitarían (tal vez) para planear decorosamente [una ilusoria biografía del infinito].

En sus historias, Borges imaginó el infinito de maneras poéticas, que resuenan con el conocimiento matemático. Por ejemplo, en “El Aleph” el narrador baja una escalera para llegar al sótano donde encuentra una “esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor”, que es “el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos”. El narrador describe lo que ve en la esfera:

El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó [...] vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera [...].

En este cuento, Borges describe un mundo como los que imaginan los matemáticos: en ellos, una sola esfera puede contener todo lo que existe. El concepto de algo innumerable también aparece en su cuento “La biblioteca de Babel”, que inicia así:

El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas. Desde cualquier hexágono se ven los pisos inferiores y superiores: interminablemente. [...] Por ahí pasa la escalera espiral, que se abisma y se eleva hacia lo remoto. En el zaguán hay un espejo, que fielmente duplica las apariencias. Los hombres suelen inferir de ese espejo que la Biblioteca no es infinita (si lo fuera realmente ¿a qué esa duplicación ilusoria?); yo prefiero soñar que las superficies bruñidas figuran y prometen el infinito... La luz procede de unas frutas esféricas que llevan el nombre de lámparas. Hay dos en cada hexágono: transversales. La luz que emiten es insuficiente, incesante.

Durante el relato, Borges describe detalladamente la biblioteca, que él equipara con el Universo y juega con la idea de si es infinita o no. El cuento termina con la siguiente reflexión:

Acabo de escribir [que la biblioteca es] infinita. No he interpolado ese adjetivo por una costumbre retórica; digo que no es ilógico pensar que el mundo es infinito. Quienes lo juzgan limitado postulan que en lugares remotos los corredores y escaleras y hexágonos pueden inconcebiblemente cesar —lo cual es absurdo. Quienes la imaginan sin límites, olvidan que los tiene el número posible de libros. Yo me atrevo a insinuar esta solución del antiguo problema: La biblioteca es ilimitada y periódica. Si un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden). Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.

Igual que Borges, científicos como el físico Stephen Hawking y el matemático Roger Penrose se han preguntado si el Universo es infinito, si empezó a existir en un momento determinado (el Big Bang) o siempre ha estado ahí. También se preguntan si hay un número incontable de universos. Esto también trae a la mesa la cuestión de si el tiempo es infinito o no, pues a partir de la revolución del pensamiento que inició Albert Einstein al publicar la Teoría general de la relatividad, los físicos consideran que el espacio y el tiempo son lo mismo. Son como Catherine y Heathcliff, los amantes eternos que no pueden existir uno sin el otro, los doppelgänger de la novela Cumbres borrascosas de Emily Brontë.

Éstas son algunas de las grandes interrogantes de la cosmología, que aún no han sido resueltas, y también de la literatura, aunque a veces ésta última incluye el amor como parte de la ecuación, pues como escribió Marcel Proust, “el amor es el espacio y

el tiempo medido por el corazón”.2

"A partir de la revolución del pensamiento que inició Albert Einstein al publicar la Teoría general de la relatividad, los físicos consideran que el espacio y el tiempo son lo mismo".

EL INFINITO GEÓMETRICO

El filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662) también quedó atrapado en el asunto de lo sinfín. Pensaba que la realidad que podíamos conocer es una esfera interminable (parecida al Aleph de Borges), cuyo centro está en todas partes. Para Pascal no hay uno, sino dos infinitos: el de la pequeñez y el de la extensión. Los seres humanos se encuentran atrapados entre ambos, por ello no pueden conocer el Universo, sólo contemplarlo. El hombre, en su ineludible carácter limitado, nada puede entre los dos infinitos que lo rodean y le huyen.

Como matemático, Pascal trabajó con problemas de geometría proyectiva. A diferencia de la geometría euclidiana, donde las rectas paralelas viven una historia trágica de amor pues nunca se encuentran, en esta geometría todas las paralelas se encuentran en un punto, llamado punto al infinito. Esta geometría nació junto con la perspectiva, tanto en la pintura como en la arquitectura. Los primeros en estudiarla fueron los artistas del Renacimiento italiano Filipo Brunelleschi, Paolo Uccello y Piero della Francesca, además del matemático Luca Pacioli. Las obras que involucran la perspectiva parten de un conjunto de líneas que en nuestro mundo de tres dimensiones son paralelas, aunque en el cuadro convergen en un punto, que se conoce como punto de fuga. En esta geometría, donde los objetos adquieren propiedades inesperadas, Pascal se dedicó a estudiar un objeto al que llamó hexagrama místico, una complicada figura geométrica que es difícil visualizar y cuyas propiedades son tan maravillosas que le parecían producto de la divinidad.

EL INFINITO DE ESCHER

No se puede hablar del infinito sin incluir al artista M. C. Escher (1898-1972). En sus grabados, el holandés plasmó figuras que parecen imposibles y que han permeado la cultura popular desde las caricaturas de los Simpson hasta las películas de Harry Potter. Uno de los temas que exploró fue el de las teselaciones. Imaginemos que regresamos al mundo infinito y, en un lujoso palacio, encontramos un piso infinito cubierto con un número infinito de azulejos ricamente decorados. Estas baldosas son cuadradas y llenan el piso sin dejar ningún espacio libre. Los matemáticos llaman teselas a los mosaicos y teselación, a su conjunto. No es posible cubrir el piso usando azulejos de cualquier forma, sin dejar espacios vacíos. Por ejemplo, si tratamos de llenar el piso con círculos siempre quedarán huecos. Escher estaba fas-cinado con las teselaciones y experimentó con distintas figuras para llenar el espacio de sus obras sin dejar vacíos. Algún tiempo después, el matemático británico Roger Penrose, quien conoció a Escher a través de su padre, creó una teoría matemática para clasificar las teselaciones.

Como muestran estos ejemplos, aunque en nuestro mundo no hay nada infinito siempre podemos soñar con la inmensidad. Basta con  poner un disco de Pink Floyd, o tomar vino y dejar volar la imaginación; así lo han hecho matemáticos, escritores y artistas que han viajado a territorios ilimitados. Que han ido al infinito y más allá.